El error numérico podemos definirlo como la magnitud del ajuste obtenido por la diferencia entre el valor teórico y el valor aproximado. Este error está presente al operar con numéros que no pueden representarse de manera finita en nuestros sistemas numéricos. Existen muchos números reales que tienen una representación fraccionaria de longitud ilimitada por lo que al manejar estos datos en espacios finitos computacionales es necesario su truncamiento a valores finitos y los resultados obtenidos al operar con ellos se convierten en aproximaciones más o menos confiables a los valores teóricos o reales. Luego, el error numérico está presente en cualquier sistema operacional funcional que trabaje con el conjunto de números en general. A partir de esta inherencia inevitable es que se ha tratado de identificar formas de conocer el valor de este error numérico o al menos aproximarlo y quizá estabilizarlo.
El determinismo científico del que Laplace fue pionero y partidario, pretende establecer que la complejidad del mundo y su impredictibilidad, en realidad evolucionan en el tiempo según reglas bien establecidas de las cuales nos resultan díficil asimilar o comprender del todo debido a la cantidad de variables requeridas, muchas de estas consideradas ocultas, pero que no por ello no sea posible determinar un sistema consistente. La primera articulación publicada de este paradigma fue realizado por Laplace en el año de 1814. En ella, él considera que si existe alguien que conociera la ubicación precisa y momento de cada átomo en el Universo, su información pasada y futura podrían ser deducibles a partir de la mecánica clásica. Esta inteligencia amplia fue caracterizada posteriormente como un demonio y referenciada al mismo Laplace aun cuando éste nunca la mencionó de tal modo. El concepto de error antes descrito se ve aquí confrontado con la idea de que la posibilidad de tener la información real (o teórica) únicamente consiste en las capacidades intelectuales de conocer a detalle el «mapa total» del Universo. Luego, se podría despreciar el error inherente en nuestras representaciones numéricas si nuestros medios intelectuales (o tecnológicos) fueran de mayor amplitud y abarcaran conceptos tales como la infinitud de los conjuntos numéricos aplicados. Entonces podemos decir que el error inherente en nuestras operaciones de estos conjuntos va ligada con nuestras aptitudes actuales y nuestras limitaciones naturales; es decir, el error es propio de nosotros mismos.
Pasó un buen tiempo antes de que la concepción de nuestro mundo diera un paso importante en su evolución natural y esto se dió mediante el descubrimiento de conceptos alejados de nuestra intución, como lo son las propiedades y características de la mecánica cuántica o física de partículas. Uno de los pilares fundamentales de esta nueva mecánica consiste en el Principio de Incertidumbre de Heisenberg el cual establece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes físicas observables y complementarias sean conocidas con precisión arbitraria. Luego, se trata de un principio que no tiene un análogo en la mecánica clásica por lo que a partir del mismo es posible desprenderse de la idea determinista establecida por Laplace y su demonio, y con ello devolver el concepto de error a sus fundamentos propios de las características naturales. Al no poder conocer la información total del sistema universal con la precisión arbitraria que una inteligencia amplísima podría poseer, sería imposible para esta conocer los valores pasados y futuros, por lo que la imposibilidad de predicción se vuelve algo innato en el mundo físico y el concepto de error deja de ser una propiedad inherente en nuestras manipulaciones de los conjuntos numéricos establecidos. El error formaría parte del mundo físico.
Entonces, estamos frente a dos conceptos que pueden resultar compatibles a partir de ciertas consideraciones, a saber: un sistema universal puede evolucionar en el tiempo bajo reglas predeterminadas, sin embargo, dentro de las mismas reglas se establecen principios más cercanos a la probabilidad que al determinismo pretendido por la mecánica clásica. A partir de estas consideraciones, se pueden establecer sistemas que, a partir de unas condiciones iniciales, su evolución en el tiempo puede ser aproximada pero nunca predecida. Un pequeño cambio en estas condiciones iniciales genera estados totalmente dispares a las obtenidas por las condiciones originales. Estos sistemas son los que estudia o explica la teoría del caos que fue desarrollada en parte por Lorenz. Estos sistemas «dinámicos» caóticos ayudan a la teoría a entender la evolución en el tiempo de sistemas naturales tales como el clima. Es en estos sistemas donde está presente el concepto de atractor que consiste en un conjunto de valores numéricos hacia los cuales un sistema tiende a evolucionar dada una gran variedad de condiciones iniciales en el sistema. Si la dinámica en este atractor es caótica entonces se dice que el atractor es del tipo extraño. Nuestro concepto de error se ve involucrado en este ámbito al poder establecer una estabilidad en los límites de su determinación. Es decir, al saber que el error es inherente a los sistemas operacionales existentes, es posible determinar ciertos límites en los que el error puede considerarse como estable, siendo esos a los cuales tiende en su propagación, y por ende estar bien definido, por lo que la aproximación al valor teórico buscado es más precisa. De igual forma, esta analogía también determina la forma en la que es posible la inestabilidad de dichos límites. Vemos entonces como el concepto de error también evoluciona en el pensamiento científico a partir de consideraciones expuestas en la representación que se da en el mundo natural. Sin embargo, el concepto fundamental del error sigue dependiente en gran manera del sistema operacional en el cual tiene su origen.
El problema 2 de la famosa lista de Hilbert consiste en demostrar que los axiomas de la aritmética son consistentes, esto a raíz de la llamada «crisis de los fundamentos» derivada de la teoría de conjuntos, y algunas paradojas obtenidas al incluir el concepto fundamental de los sistemas numéricos como lo es la infinitud y los valores infinitesimales. La resolución de este problemas determinaría a la aritmética como un sistema formal que no supone contradicción alguna. Bajo esta necesidad de formalizar la matemática actual, Hilbert propone una nueva aritmética a partir de un conjunto de fórmulas demostrables, en donde al existir dos proposiciones mutuamente contradictorias solo una de estas puede ser probada. Sin embargo, el trabajo de Gödel probó que la formalización de la aritmética mediante un sistema de primer orden en el más puro estilo de la lista de problemas de Hilbert era problemático. Este trabajo consistía en sus famosos teoremas de incompletitud. El primero de ellos demostraba que aceptando que dicha teoría es consistente entonces necesariamente debe de ser incompleta. El segundo de ellos asevera que la consistencia de la propia aritmética es indemostrable dentra la misma aritmética.
Vemos como el concepto de infinito conlleva ciertas particularidades y complicaciones ineludibles en las propias bases de los sistemas numéricos y su operación interna, lo que nos puede llevar a pensar en la necesidad propia del concepto de error dentro de dicho sistema. Luego, no es posible desprenderse del mismo sin importar los métodos utilizados para ello, por lo que el concepto se vuelve parte del sistema que se pretende formalizar y entonces es necesaria su consideración inherente en el análisis propio del sistema y la forma en la que se puede delimitar su campo de acción o la obtención de sus valores propios al operar dentro en dicho sistema.
Bibliografía
Bibliografía
Demonio de Laplace. (2017, 31 de octubre). Wikipedia, La enciclopedia libre. Consulta desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Demonio_de_Laplace&oldid=103040226
Relación de indeterminación de Heisenberg. (2017, 10 de noviembre). Wikipedia, La enciclopedia libre. Consulta desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Relaci%C3%B3n_de_indeterminaci%C3%B3n_de_Heisenberg&oldid=103312630
Teoría del caos. (2017, 27 de octubre). Wikipedia, La enciclopedia libre. Consulta desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_del_caos&oldid=102898988
Aritmética. (2017, 10 de noviembre). Wikipedia, La enciclopedia libre. Consulta desde https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritm%C3%A9tica&oldid=103295279
